Шпаргалки По Линейной Алгебре 1 Семестр
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по курсу 'Линейная алгебра и аналитическая геометрия'(1 семестр) 1-йпоток, 2009 год ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1. Операции над матрицами и их свойства. Линейная зависимость и независимость.
Базис и размерность линейной оболочки. Перестановки и подстановки, транспозиции, четность. Определитель и его свойства как функции столбцов (строк). Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения матриц.
Шпаргалки по высшей математике. Линейной и векторной алгебре.
Невырожденные матрицы. Обратные матрицы.
Критерий обратимости матрицы. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Явный вид обратной матрицы. Ранг матрицы и линейная зависимость строк и столбцов.
Теорема о базисном миноре. Ранг суммы и произведения матриц.
Ранг матрицы и элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение к диагональному виду.
Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности. Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем.
Элементарные преобразования уравнений и умножение на невырожденные матрицы. Системы с невырожденной матрицей.
Правило Крамера. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Критерий единственности решения. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений. Число арифметических операций в методе Гаусса. Геометрические свойства множества решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.
Геометрические свойства множества решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Общее решение. Линейное пространство. Базис и размерность. Переход к другому базису, матрица перехода. Линейные подпространства и многообразия.
Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ 1. Декартово произведение множеств и бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.
Алгебраические операции. Ассоциативность и скобки. Группы и подгруппы. Симметрическая и знакопеременная группы. Группа невырожденных матриц. Группа невырожденных треугольных матриц. Группа ортогональных матриц.
Степени элемента. Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
Шпоры По Линейной Алгебре 1 Курс 1 Семестр
Абелевы группы. Подгруппы, смежные классы, нормальные подгруппы (нормальные делители). Конечные группы. Теорема Лагранжа. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Фактор-группапо нормальной подгруппе. Свободная группа.
Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент произведения комплексных чисел. Формула Муавра. Корни из единицы. Группа корней n-йстепени из единицы.
Первообразные корни. Кольца, поля, линейные пространства над полем. Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю. Характеристика поля. Необходимое и достаточное условие существования поля из n элементов.
Многочлены как формальные выражения и как функции. Условие эквивалентности двух определений многочлена. Кольцо многочленов. Деление с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Целостное кольцо и поле частных.
Гауссовы кольца. Разложение на неприводимые множители в кольце многочленов от n переменных. Значения многочлена и корни. Теорема Безу. Алгебраическое расширение поля.
Размерность расширения. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители. Каноническое разложение комплексных и вещественных многочленов. Кратность корня. Формулы Виета. Общие и элементарные симметрические многочлены.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Аффинная система координат. Преобразование координат. Направленные отрезки. Свободный вектор.
Линейные операции над векторами. Кооординаты вектора. Проекции вектора. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Общее уравнение прямой в аффинной системе координат на плоскости.
Шпаргалки По Линейной Алгебре 1 Семестр
Критерий параллельности вектора прямой. Общее уравнение плоскости в аффинной системе координат в пространстве.
Критерий параллельности вектора плоскости. Скалярное произведение геометрических векторов, его вычисление в прямоугольных декартовых координатах. Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление в прямоугольных декартовых координатах.
Нормали к прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой и до плоскости.
Алгебраические линии и поверхности. Инвариантность порядка. Матричная запись общего уравнения второго порядка на плоскости и в пространстве.
Приведенные уравнения линии второго порядка на плоскости. Метод вращений. Фокусы и директрисы.
Фокусы и директрисы. Фокус и директриса. Преобразования прямоугольных декартовых систем координат и ортогональные матрицы.
Приведенные уравнения поверхности второго порядка. Метод вращений. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конус и цилиндрические поверхности. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.